Question

设函数，

（1）求函数f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值和最小值；

（2）若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围.

Answer

（1）最大值为7，最小值为；（2）

【解析】

（1）函数求导得＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），（x∈R），易知在区间（﹣1，），（1，2）上，＞0，在区间（，1）上，＜0，从而求得函数的极值，再计算给定区间的端点函数值，其中最大的为最大值；最小的为最小值.

（2）对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，只需要f（x）max＜m即可.

（1）f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），（x∈R），

因为在区间（﹣1，），（1，2）上，＞0，

所以f（x）单调递增，

因为在区间（，1）上，＜0，

所以f（x）单调递减，

所以f（x）极大值＝f（），f（x）极小值＝f（1），

又因为f（﹣1），f（2）＝7，

所以f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为7，最小值为.

（2）若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，

则只需要f（x）max＜m即可，

由（1）知，f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为7，

所以m＞7.