Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）时，讨论的单调性；

（Ⅲ）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数的极小值为，无极大值；（Ⅱ）当时，函数的在定义域单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．

（Ⅲ）．

【解析】

试题（1）函数的定义域为， 当时，函数，利用导函数求出函数的单调性，即可求出函数的极值；

（2）由，所以，

令，得，，对、、分类讨论，求出的单调性；

（3）若对任意的恒有成立，等价于当，对任意的，恒有成立，由（Ⅱ）知，，所以上式化为对任意的，恒有成立，即，因为，所以，所以．

试题解析：（1）函数的定义域为．，令，

得；（舍去）．

当变化时，的取值情况如下：

—

0

减

极小值

增

所以，函数的极小值为，无极大值．

（2），令，得，，

当时，，函数的在定义域单调递减；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增．

（3）由（2）知当时，函数在区间单调递减；所以，当时，，

问题等价于：对任意的，恒有成立，即，因为a<0，，所以，实数的取值范围是．