Question

已知拋物线C：经过点，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．

Ⅰ求抛物线C的方程以及焦点坐标；

Ⅱ若与的面积相等，证明直线l与抛物线C相切．

Answer

（Ⅰ）抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（ 0，1），（Ⅱ）见解析

【解析】

Ⅰ把点的坐标代入抛物线方程中，求出，这样就可以直接写出抛物线C的方程以及焦点坐标；

Ⅱ设出点的坐标，已知与的面积相等，可以推出是的中点，求出的坐标，这样可以求出直线的方程，与抛物线的方程联立，得到一个一元二次方程，只要证明出这个一元二次方程根的判别式为零，就可以证明出直线l与抛物线C相切．

【解析】
（Ⅰ）∵抛物线x2=2py过点P（2，1），∴4=2p，解得p=2，

∴抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（ 0，1），

（Ⅱ）设（x0，），由△AFM的面积等于△AFB的面积，可得|MA|=|AB|，

即A是MB的中点，∴A（，0），B（0，-），

∴直线l的方程为y=（x-），

直线l的方程与抛物线C的方程联立得，得x2-2x0x+x02=0，得x=x0，y=，

∴直线l与抛物线C只有一个公共点，

∴直线l与抛物线相切，且切点为M．