Question

设数列的前项和为，已知.

（1）令，求数列的通项公式；

（2）若数列满足：.

①求数列的通项公式；

②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）①；②存在，

【解析】

（1）由题，得，即可得到本题答案；

（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；

②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.

（1）因为，所以，即，

又因为，所以，即，

所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；

（2）①由（1）知，，当时，，

又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，

因为，所以，所以，

即，

因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，

故；

②设，则，

所以，

两式相减得，

所以，

∵，∴，

即：，即.

令，则，即，

所以，数列单调递减，

，因此，存在唯一正整数，使得成立.