Question

椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）先求解A点坐标，代入椭圆方程，结合离心率为，即得解.

（2）设，，利用点差法得到，得到直线的方程为，得到，利用在椭圆内部得到范围，即得解.

（1）不妨取第一象限的交点为.

由椭圆将圆的圆周分为四等份，知.

所以.

因为点在椭圆上，所以.①

因为，所以.②

①②联立，解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）设，，则

两式相减，得.

又因的中点为，所以，.

所以直线的斜率.

当时，直线的方程，直线即轴，此时.

当时，直线的斜率.

所以直线的方程为，即.

令，则.

因为点在椭圆内部，所以.

所以，所以.

综上所述，的取值范围为.