Question

 如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=m，板间距d= 0.10m，在金属板右侧有一范围足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为MN，与金属板垂直。在t=0时刻，两金属板间加如图乙所示的正弦交变电压，匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10^-2T。现从t=0开始，从两极板左侧的中点O以每秒钟1000个的数量不间断地释放出某种正电荷，这种带正电的粒子均以v₀=×10⁵m/s的速度沿两板间的中线OO′连续进入电场，经电场后射入磁场。已知带电粒子的比荷＝1.25×10⁷C/kg，粒子的重力忽略不计，假设在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，不计粒子间的相互作用求：

⑴ t＝0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离（结果保留两位有效数字）；

⑵每秒钟有多少个带正电的粒子进入磁场；

⑶何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间为多少？（π≈3）

Answer

⑴t＝0时，UAB=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，  

得                              ①    （2分）

    射入和射出磁场时，两点间的距离为s＝2r    ②    （1分）

由①②可得s = 1.4m                        ③    （1分）   

⑵设：当两极板电压为u时，由O点射入的粒子刚好从板的边缘进入磁场，则有

    ④（1分）

      ⑤（1分）

        ⑥（1分）

         ⑦（1分）

由④⑤⑥⑦式得：        ⑧（1分）

由乙图可知，在每周期内只有0～，～，～，时间段内由O射入的粒子才能通过电场而进入磁场，即只有一半的时间内有粒子能进入磁场，所以每秒钟有500个粒子进入磁场（2分）

⑶只有当A板电势高于B板电势，且沿B板右侧边缘进入磁场的粒子，由于在电场中的偏转角最大，使得其在磁场中做圆周运动对应的圆心角最大，故在磁场中运动的时间最长，如图丙所示。即

,（……）⑨（1分）

或

,（……）⑩（1分）

这些时刻入射的粒子在磁场中运动的时间最长。

由带电粒子在电场中做类平抛运动的特点可得

  ，θ=30°   11（2分）

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，所求的最长时间为t′，则有

                  12（2分）

由几何关系得粒子在磁场中运动的圆心角240°，

则                            13（2分）

由12、13式代入数据得t′=3.2 ×s      14（1分）