Question

 从水平地面上以初速度v₀把小球竖直向上抛出，若小球运动中所受空气阻力是其重力的0.6倍，每次接触地面后在极短的时间内以原速率反弹，重力加速度为g求：

 (1)小球从开始抛出到刚刚静止所通过的路程．

   (2)小球从开始抛出到刚刚静止所经历的时间．

   (提示：若0＜q＜1，当n无穷大时，取qⁿ=0)

Answer

 解析：(1)小球最后静止在水平地面上，在整个运动过程中，空气阻力做功使其机械能减少，设小球从开始抛出到最后静止所通过的路程S，有 fs=mv02/2       已知 f ＝0.6mg    代入算得： s=  5 v02/(6g)                

    (2)第一次上升和下降：设上升的加速度为a11．上升所用的时间为t11，上升的最大高度为h1；下降的加速度为a12，下降所用时间为t12．

    上升阶段：F合＝mg＋f ＝1.6 mg

    由牛顿第二定律：a11 ＝1.6g           

    根据：vt＝v0－a11t11，  vt＝0

    得：v0＝l.6gt11， 所以t11＝ 5 v0/(8g)              

    下降阶段：a12=(mg-f)/m= 0.4g          

    由h1= a11t112/2  和 h2= a12t122/2      得：t12＝2t11＝5 v0/(4g)          

    所以上升和下降所用的总时间为：T1＝t11＋t12＝3t11＝  15 v0/(8g)        

    第二次上升和下降，以后每次上升的加速度都为a11，下降的加速度都为a12；设上升的初速度为v2，上升的最大高度为h2，上升所用时间为t21，下降所用时间为t22

    由v22=2a12h1  和v02=2a11h1          得  v2＝ v0/2           

    上升阶段：v2＝a11t21     得：t21= v2/ a11=  5 v0/(16g)       

    下降阶段：  由  h2= a11t212/2   和h2= a12t222/2        得t22＝2t21       

 所以第二次上升和下降所用总时间为：T2＝t21＋t22＝3t21＝15 v0/(16g)= T1/2    

    第三次上升和下降，设上升的初速度为v3，上升的最大高度为h3，上升所用时间为t31，下降所用时间为t32

    由 v32=2a11h2    和v22=2a12h2          得：  v3＝ v2/2  = v0/4

    上升阶段：v3＝a11t3l，得t31＝ 5 v0/(32g)    

    下降阶段：由 h3= a11t312/2       和h3= a12t322/2            得：t32＝2t31    

    所以第三次上升和下降所用的总时间为：T3＝t31＋t32＝3t31＝15 v0/(32g)= T1/4       

    同理，第n次上升和下降所用的总时间为： Tn＝        

    所以，从抛出到落地所用总时间为： T=15 v0/(4g)