Question

（20分）如图所示，光滑水平地面上方被竖直平面MN分隔成两部分，左边（包括竖直平面MN）有匀强磁场B，右边有匀强电场E₀（图中未标）。在O点用长为L＝5m的轻质不可伸长的绝缘细绳系一质量m_A＝0.02kg、带负电且电荷量q_A＝4×10^－4C的小球A，使其在竖直平面内以速度v_A＝2.5m/s沿顺时针方向做匀速圆周运动，运动到最低点时与地面刚好不接触。处于原长的轻质弹簧左端固定在墙上，右端与质量m_B＝0.01kg、带负电且电荷量q_B＝2×10^－4C的小球B接触但不连接，此时B球刚好位于M点。现用水平向左的推力将B球缓慢推到P点（弹簧仍在弹性限度内），推力所做的功是W＝2.0J，当撤去推力后，B球沿地面向右运动到M点时对地面的压力刚好为零，继续运动恰好能与A球在最低点发生正碰，并瞬间成为一个整体C（A、B、C都可以看着质点），碰撞前后总电荷量保持不变，碰后瞬间匀强电场大小变为E₁＝1×10³ N/C，方向不变。g＝10m/s²。求：

（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向？

（2）匀强电场的电场强度E₀的大小和方向？

（3）整体C运动到最高点时绳对C的拉力F的大小？

Answer

（1）B＝25T，方向垂直纸面水平向外

（2）E0＝5×102 N/C，方向竖直向下

（3）F＝1.5N

【解析】（1）设B球运动到M点时速度为vB，根据能量守恒有

W＝, vB＝20 m / s········································（1分）

B球运动到M点时对地面的压力刚好为零，则

qBvBB＝mBg ·············（1分）   解得B＝25T···············（1分）

B球带负电，受洛伦兹力竖直向上，则磁场方向垂直纸面水平向外。··（1分）

（2）小球A在竖直平面内做匀速圆周运动，所以受到的电场力与重力大小相等、方向相反。即有qAE0＝mAg·····································（1分）

解得E0＝5×102 N/C···········································（1分）

A球带负电，受到的电场力竖直向上，则电场方向竖直向下。·········（1分）

（3）设A、B碰后瞬间整体C带电荷量为qc，质量为m­c，速度为vc，由动量守恒

qc＝qA＋qB＝6×10－4C，mc＝mA＋mB＝0.03kg

mBvB－mAvA＝mc vc·············································（1分）

解得vc＝5m/s

设整体C受到电场力和重力的合力为F合，在最低点做圆周运动需要的向心力为F向，则F合＝qcE1－mcg＝0.3N，F向＝＝0.15N, F合＞F向，所以，细绳将松驰，整体C不会做圆周运动到达最高点，而是从碰后开始做类平抛运动。·························································（2分）

设做类平抛运动的加速度为a，经过时间t在某点S将绳绷紧，对应的水平方向的距离为x，竖直方向的距离为y，如图，则

a＝F合/mc····（1分）       x＝vct ······（1分）

y＝·······························（1分）

且有x2＋(L－y)2＝L2或x2＋(y－L)2＝L2 ····（1分）

解得a＝10 m/s2，t＝1s，x＝5m，y＝5m

由于x＝y＝L，某点S与O点在同一水平位置，C的水平速度变为零。（1分）

C从S点到最高点之间将做圆周运动，设在S点的竖直速度为vs，到达最高点的速度为v，则vs＝at,  vs＝10m/s   ································（1分）

, v＝10m/s·····················（1分）

根据牛顿第二定律得 F＋mcg－qcE1＝······················（2分）

解得F＝1.5N·················································（1分）