Question

（18分）如图所示，平面直角坐标系的 y 轴竖直向上，x 轴上的 P 点与 Q 点关于坐标原点 O 对称，距离为2a．有一簇质量为m、带电量为+q的带电微粒，在 xoy平面内，从 P 点以相同的速率斜向上沿与 x 轴正方向的夹角 θ 方向射出，0°＜θ ＜90°，经过某一个垂直于 xoy平面向外、磁感应强度大小为 B 的有界匀强磁场区域后，最终会聚到 Q 点，这些微粒的运动轨迹关于 y 轴对称．为保证微粒的速率保持不变，需要在微粒的运动空间再施加一个匀强电场．重力加速度为 g．求：

（1）匀强电场场强E的大小和方向；

（2）若微粒在磁场中运动的轨道半径为 a ，求与 x轴正方向成30°角射出的微粒从 P 点运动到 Q 点的时间 t ；

（3）若微粒从 P 点射出时的速率为 v，试推出在 x ＞0的区域中磁场的边界点坐标 x 与  y 应满足的关系式．

Answer

（1），方向竖直向上

（2）

（3）

【解析】

（1）由题意可知，微粒所受电场力与重力平衡，即

         …………………………………… …2分

        解得：，方向竖直向上………………2分

（2）根据题意画出微粒的运动轨迹如图所示，设A、C分别为微粒在磁场中运动的射入点和射出点． 根据几何关系可得：

A点坐标为，C点坐标为2分

微粒运动的路程为…………2分

    设微粒运动的速率为v，它做匀速圆周运动时洛 仑兹力提供向心力，即

………2分     ……………2分

解得： ………………………2分

（3）如图所示，设微粒在磁场中运动的轨道半径为 r ，在 x ＞0的区域内，设微粒离开磁场后的速度方向与x轴夹角为θ ，根据几何关系可得：

         …………………………………1分

       …………………1分

       代入相关数据并化简得： ………………2分