Question

如图所示，足够长的传送带与水平面倾角θ=37°，以12米/秒的速率逆时针转动。在传送带底部有一质量m = 1.0kg的物体，物体与斜面间动摩擦因数μ= 0.25，现用轻细绳将物体由静止沿传送带向上拉动，拉力F = 10.0N，方向平行传送带向上。经时间t = 4.0s绳子突然断了，求：

（1）绳断时物体的速度大小；

（2）绳断后物体还能上行多远；

（3）从绳断开始到物体再返回到传送带底端时的运动时间。（g = 10m/s²，sin37°= 0.6，cos37°= 0.8，）

Answer

（1）8.0m/s

（2）4.0m

（3）3.3s

【解析】（1）物体开始向上运动过程中，受重力mg，摩擦力Ff，拉力F，

设加速度为a1，

则有F – mgsinθ－ Ff = ma1

又 Ff = μFN       FN = mgcosθ

得a1 = 2.0m / s2  ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2分）

所以 ， t = 4.0s时物体速度v1 =a1t   = 8.0m/s  ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（1分）

（2）绳断后,物体距传送带底端s1 =a1t 2 /2= 16m.

设绳断后物体的加速度为a2,由牛顿第二定律得

-mgsinθ - μmgcosθ= ma2          a2 = -8.0m / s2    ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2分）

物体做减速运动时间t2 = -= 1.0s   ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2分）

减速运动位移s2=v1t2+ a2t2 2 /2 = 4.0m‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2分）

（3）此后物体沿传送带匀加速下滑,设加速度为a3, 由牛顿第二定律得

mgsinθ ＋ μmgcosθ= ma2        a3 = 8.0m / s2  

    当物体与传送带共速时向下运动距离s3=v2/(2a3)=9m‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2分）

用时t3 = v / a3=1.5s‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑（2分）

共速后摩擦力反向，由于mgsinθ 大于 μmgcosθ，物体继续沿

传送带匀加速下滑，设此时加速度为a4, 由牛顿第二定律得

下滑到传送带底部的距离为

设下滑时间为，由得

  得