Question

（21分）

图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为。求离子乙的质量。

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。

Answer

（1） 

（2）

（3）所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：边上从到点。边上从到。

【解析】（21分）

（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有              ①            式中，是离子运动的速度，是平行金属板之间的匀强电场的强度，有                     ②             由①②式得

            ③              在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有                                     ④

式中，是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为：这半圆刚好与边相切于，与边交于点。在中，垂直于。由几何关系得                                    ⑤

由⑤式得                                ⑥

联立③④⑥式得,离子甲的质量为      ⑦ 

（2）同理，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有

                                         ⑧

式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心必在两点之间，又几何关系有

   ⑨

            由⑨式得

                            ⑩

                    联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为

            （11）

（1）   对于最轻的离子，其质量为，由④式知，它在磁场中做半径为的匀速圆周运动。因而与的交点为，有

          （12）

(2)当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边变到点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边趋向于点。点到点的距离为

             （13）(3)所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：边上从到点。边上从到。