Question

（20分）如题图所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L=1．6a的刚性等边三角形框架ΔDEF，其中心O位于圆柱的轴线上．DE边上S点（）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图题图中截面内且垂直于DE边向下。发射粒子的电量皆为q（＞0），质量皆为m，但速度v有各种不同的数值。若这些粒子与三角形框架的碰撞无能量损失，电量也无变化，且每一次碰撞时速度方向均垂直于被碰的边。试问：

（1）带电粒子经多长时间第一次与DE边相碰？

（2）带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？

（3）这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？

Answer

（1） 

（2）            

（3）                                

【解析】【解析】

（1）带电粒子（以下简称粒子）从S点垂直于DE边以速度v射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动

 （1分）  得        ①（1分）

粒子在磁场中做圆周运动的周期为：   （1分）

将①式代入，得：                 ②（1分）

粒子第一次与DE边相碰：         （2分）

（2）带电粒子（以下简称粒子）从S点垂直于DE边以速度v射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于DE边上，粒子每次与ΔDEF的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点，如题解图所示，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于Δ的边上，粒子绕过Δ顶点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即D、E、F）上。、的长度应是Rn的奇数倍即：

 (＝1，2，3，…)                  ③（2分）

此时为Rn的奇数倍的条件自然满足。

而粒子要能绕过顶点与Δ的边相碰，则粒子作圆周运动的半径R不能太大，如图题解图，

必须有：                    ④（2分）

由图中的几何关系计算可知：

            ⑤（1分）

将 1，2，3，…，分别代入③式，得

由于R1，R2，≥，这些粒子在绕过Δ的顶点E时，将从磁场边界逸出，只有n≥4的粒子能经多次碰撞绕过E、F、D点，最终回到S点．由此结论及①、③两式可得与之相应的速度：

                      ⑥（4分）

（3）由②可知，在B及q/m给定时T与v无关。粒子从S点出发最后回到S点的过程中，与Δ的边碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取n=4，如题解图所示（图中只画出在边框DE的碰撞情况），此时粒子的速度为v4，由图可看出该粒子的轨迹包括3×13个半圆和3个圆心角为300°的圆弧，所需时间为：  ⑦（3分）

以②式代入得：                                            ⑧（2分）