Question

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁＝12R，R₂＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B.现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，平行轨道中部高度足够长.已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂。

（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。

（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R₂上的电功率P₂。

（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v₃，要使其在外力F作用下向下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式。

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落r/2时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得

mg－BIL＝ma           （2分）

式中L＝r            （1分）

                 （1分）

式中 ＝4R     （ 1分）

由以上各式可得到            （1分）

（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即

式中                         

解得                             （2分）

导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有

得              （2分）

此时导体棒重力的功率为

根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即

＝

所以，＝                （2分）

（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为，此时安培力大小为

             （1分）

由于导体棒ab做匀加速直线运动，有     （1分）

根据牛顿第二定律，有

F＋mg－F′＝ma               （1分）

即           （1分）

由以上各式解得

（2分）