Question

（24分）如图(a)所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，极长，B板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离。现有质量为m带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO＇的速度v₀不断射入，不计粒子所受的重力。

（1）若在A、B板上加一恒定电压U=U₀，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K，求U₀的大小。

（2）若在A、B板上加上如图（b）所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中，且粒子只在0~时间内入射，则能打到小孔K的粒子在何时从O点射入？

（3）在NM和NP两档板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件（2）从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值。

Answer

（1）

（2）

（3）B

【解析】（1）带电粒子做类平抛运动，则：

                                             ①（2分）

                                   ②（2分）

把代入①②式可得：

                         ③（2分）

（2）粒子在水平方向做匀速直线运动，粒子运动的时间均为，设粒子在tx时刻进入金属板，则在时刻开始做类抛运动，平抛的时间为tx，则：

                               ④（4分）

把③代入④式可得：

                                              ⑤（2分）

（3）在射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度为vy，则

               ⑥（2分）

                    ⑦（2分）

则，即粒子垂直MN板入射。如图所示，粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP。

粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即

                                      ⑧

可得                                    ⑨（2分）

要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图所示，根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，则由几何关系可得：

CDKF是边长为r的正方形。则在三角形NCF中，有

，

可得，                             （4分）

。（2分）