Question

为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位，可设计如下的一个电磁场区域（如图所示）：水平线QC以下是水平向左的匀强电场，区域Ⅰ(梯形PQCD)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；区域Ⅱ(三角形APD)内的磁场方向与Ⅰ内相同，但是大小可以不同，区域Ⅲ(虚线PD之上、三角形APD以外)的磁场与Ⅱ内大小相等、方向相反。已知等边三角形AQC的边长为2l，P、D分别为AQ、AC的中点。带正电的粒子从Q点正下方、距离Q点为l的O点以某一速度射出，在电场力作用下从QC边中点N以速度v₀垂直QC射入区域Ⅰ，再从P点垂直AQ射入区域Ⅲ，又经历一系列运动后返回O点。（粒子重力忽略不计）求：

（1）该粒子的比荷；

（2）求在磁场III区中圆周运动半径的可能值；

（3）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间。

Answer

（1）（2）r = l/(4n + 1)     其中n = 0，1，2…（3）见解析

【解析】（1）根据牛顿第二定律和洛仑兹力表达式有

                                       ①

 代入R=l，解得                            ②

（2）若粒子在区域Ⅱ和Ⅲ内的运动如图甲所示，则总路程为（2n + 5/6）个圆周，根据几何关系有

AP= (4nr + r) = l             ③       

解得      r = l/(4n + 1)     其中n = 0，1，2……

(3) 带电粒子电磁场中运动的总时间包括三段：电场中往返的时间t0、区域Ⅰ中的时间t1、区域Ⅱ和Ⅲ中的时间t2＋t3，根据平抛运动规律有

带电粒子进入区域Ⅰ前的时间          ④

设在区域Ⅰ中的时间为t1，则    

                  ⑤           

区域Ⅱ和Ⅲ内总路程为  s=（2n +5/6）×2πr   ⑥

区域Ⅱ和Ⅲ内总时间为t2＝＝  

总时间为t=2t0+2t1+t2 =       （n = 0，1，2……）        ⑦

                  图甲                                图乙

若粒子在区域Ⅱ和Ⅲ内运动如图乙所示，则总路程为（2n +1＋1/6）个圆周，根据几何关系有：

 (4nr +3r) = l                           

解得      r = l/(4n + 3)     其中n = 0，1，2……

区域Ⅱ和Ⅲ内总路程为  s=（2n +1＋1/6）×2πr＝

区域Ⅱ和Ⅲ内总时间为t2＝＝

总时间t=2t0+2t1+t2=                 ⑧

说明：两种解得出一种的得10分，补全另一种的给3分。