Question

如图所示的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成。以水平线MN和PQ为界，空间分为三个区域，区域I和区域Ⅲ有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场，区域I和Ⅱ有竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小环穿在轨道内，它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ（0<μ<1），而轨道的圆弧形部分均光滑。在电场中靠近C点的地方将小环无初速释放，设小环电量保持不变（已知区域I和II的匀强电场强大小为，重力加速度为g）。求：

（1）小环在第一次通过轨道最高点A时的速度v_A的大小；

（2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道的压力N的大小；

（3）若从C点释放小环的同时，在区域II再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场，其场强大小为，则小环在两根直轨道上通过的总路程多大？

Answer

(1) (2) (3)见解析

【解析】(1)从C到A，洛伦兹力不做功，小环对轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力，由动能定理，有：

 ---------- ①      

可得： ---------②        

(2)过A点时对小环，由牛顿第二定律，有：

----------③

解得  ---------④

(3)由于0<μ<1，小环必能通过A点，以后有三种可能：

①可能第一次过了A点后，恰好停在K点。----------⑤

在直轨道上通过的总路程为： ---------⑥

②可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点。---------⑦

对整个运动过程，由动能定理：

----------⑧       得：s总=----------⑨

③还可能最终在D或点速度为零（即在D与点之间往复运动）。----------⑩

由动能定理：

---------- （11）    得：s总=----------（12）

评分细则：①4分，②③④各2分，⑤⑥⑦⑧⑨⑩（11）（12）各1分，共18分。