Question

如图所示，有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计)，质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长的轻绳相连结（未画出）。开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于距离固定支架C高度处。然后自由下落到C上，支架上有一半径为 ()的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上。薄板M与支架发生没有机械能损失的碰撞（碰撞时间极短）。碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧。在轻绳绷紧的瞬间，两板具有共同速度V.不计空气阻力，，求：

1.两板分离瞬间的速度大小V₀ ；

2.若，求轻绳绷紧时两板的共同速度大小V ；

3.若绳长未定，（K取任意值），其它条件不变，轻绳长度满足什么条件才能使轻绳绷紧瞬间两板的共同速度V方向向下。

Answer

1.2m/s

2.

3.

【解析】(1) 开始 M与m自由下落，据机械能守恒：(M+m)gh＝(M+m)V02   （2分）

所以，V0＝＝2m/s    （2分）

（2）M碰撞支架后以V0返回作竖直上抛运动，m继续下落做匀加速运动。经时间t， M上升高度为h1，m下落高度为h2。则：

h1＝V0t－gt2    h2＝V0t＋gt2，                       （1分）

则h1＋h2＝2V0t＝0.4m，    故：         （1分）

设绳绷紧前M速度为V1， m的速度为V2，有

V1＝V0－gt＝2－10×0.1＝1m/s   （1分）

V2＝V0＋gt＝2＋10×0.1＝3m/s   （1分）

绳绷紧时，取向下为正方向，根据动量守恒， mV2－MV1＝(M+m)V（2分）

得  （1分）

（3）要使两板共同速度V向下，由于为任意值，必须使M板反弹后在下落阶段绳子才拉直。

当M刚到达最高点时，细绳绷紧，此时绳长最小。

薄板M速度减为0的时间 （1分）

薄板M上升的最大高度 （1分）

这段时间内薄板m下降 （1分）

绳长 （1分）

当M下落到C处时，细绳绷紧，此时绳长最长。

当M落到C时，历时 （1分）

薄板m下降距离为 （1分）

综上可得，要使V向下，绳长应满足。（1分）