Question

如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求

1.粒子a射入区域I时速度的大小；

2.当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。

Answer

1.

2.

【解析】（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为，如图。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

                               ①

由几何关系得 ②

=2d                               ③

式中，由①②③式得

                                  ④ …………4分

 （2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为On，半径为，射出点为（图中末画出轨迹），

。由沦仑兹力公式和牛顿第二定律得

        ⑤   由①⑤式得=d              ⑥

三点共线，且由⑥式知点必位于⑦

的平面上。由对称性知，点与点纵坐标相同，即

                           ⑧ …………   3分

式中，h是C点的y坐标。

设b在I中运动的轨道半径为，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

⑨       

设a到达点时，b位于点，转过的角度为α。如果b没有飞出I，则

⑩   （11）

式中，t是a在区域II中运动的时间，而

            （12）                       （13）

由⑤⑨⑩（11）（12）（13）式得

                                    （14）

由①③⑨（14）式可见，b没有飞出I。点的y坐标为

   （15）…………3分

由①③⑧⑨（14）（15）式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为

   （16）                  ………… 2分