Question

一质量M = 0．8 kg的中空的、粗细均匀的、足够长的绝缘细管，其内表面粗糙、外表面光滑；有一质量为m = 0．2 kg、电荷量为q = 0．1 C的带正电滑块以水平向右的速度进入管内，如图甲所示。细管置于光滑的水平地面上，细管的空间能让滑块顺利地滑进去，示意图如图乙所示。运动过程中滑块的电荷量保持不变。空间中存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为B = 1．0 T。（取水平向右为正方向，g = 10 m/s²）

    （1）滑块以v₀ = 10 m/s的初速度进入细管内，则系统最终产生的内能为多少?

    （2）滑块最终的稳定速度 v_t 取决于滑块进入细管时的初速度v₀

①请讨论当v₀的取值范围在0至60 m/s的情况下，滑块和细管分别作什么运动，并求出v_t 和v₀的函数关系？

②以滑块的初速度v₀横坐标、滑块最终稳定时的速度v_t 为纵坐标，在丙图中画出滑块的v_t—v₀图像（只需作出v₀的取值范围在0至60 m/s的图像）。

Answer

（1）（8分）小球刚进入管内时受到洛仑兹力为： N  ①  （2分）

       依题意小球受洛仑兹力方向向上，，小球与管的下壁有弹力，摩擦使球减速至最终与细管速度相同时,两者以共同速度v运动           （1分）

       由动量守恒定律：     ②  （2分）

       对系统：由能量守恒定律：③ （2分）

       由②③得：Q = 8 J    （1分）

       （2）（10分）如图。

       分析：当滑块对管的上下壁均无压力时，滑块进入细管的速度满足：

            ④

       得：m/s -----------------1分

       当滑块初速小于m/s时，，滑块与管的下壁有弹力，并有摩擦力，使滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者共速----------1分

       对系统：依动量守恒定律：⑤-----------1分

       代入数据得： ⑥（m/s）-----------1分

       ②当滑块初速20m/s≤v0≤60m/s时，滑块与管的上壁有弹力，摩擦使滑块减速最终速度为 m/s，而细管作匀加速直线运动，加速到V’ ⑧-------1分

       当滑块以初速度为v0’进入， 若恰好v’=vt=20m/s,则对系统依动量守恒定律有：

       可得：>60m/s

       当滑块以v0=60m/s进入时，

       ∴细管工不会离开地面。

       可见：当滑块以初速度20m/s≤v0≤60m/s进入细管时，细管最终不能加速到20m/s-- 1分

       （画图每段2分）

【解析】略