Question

长为6l、质量为6m的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外，另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块，如图所示．木块在AB段与桌面无摩擦（E点位于桌子的边缘），在BE段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略．初始时刻用手按住木块使其停在A处，绳处于绷紧状态，AB = BC = CD = DE = l，放手后，木块最终停在C处．桌面距地面高度大于6l．

   （1）求木块刚滑至B点时的速度v和木块与BE段的动摩擦因数μ；

   （2）若木块在BE段与桌面的动摩擦因数变为μ′ = ，    则木块最终停在何处？

   （3）是否存在一个μ值，能使木块从A处放手后，最终停在E处，且不再运动？若能，求出该μ值；若不能，简要说明理由．

Answer

（1）木块从A处释放后滑至B点的过程中，由机械能守恒得：ΔEp +ΔEk = 0

    即：3mg（l）－2mgl = （M +6m）v2，木块滑至B点时的速度v =

    木块从A处滑至C点的过程中，由功能关系得：4mg（2l） －2mgl = μMgl

    由此得  μ =

   （2）若μ′ = <μ，设木块能从B点向右滑动x最终停止，由功能关系得

    （）mg（）－2mgl =μ′Mgx

    将μ′代入式并整理得 2x2 － 9lx+10l2 = 0，解得x = 2l （x = 2．5l不合题意舍去）

    即木块将从B点再滑动2l最终停在D处．

   （3）不存在符合要求的μ值，即不可能使木块从A处放手后最终停在E处且不再运动．

    解法一：当μ = 时，若木块滑至E点，恰好有f＝μΜg＝6mg，此时绳全部悬于桌边外，对木块的拉力恰好也为6mg，而从（2）的结果知，要使木块继续向E点滑行，必须再减小μ值 ，因而木块尚未滑至E点时，木块所受滑动摩擦力已与悬绳拉力相等，此时，再向E点滑行时，悬绳对木块拉力将大于木块受到的滑动摩擦力而使合力向右

    木块又重新获得加速度．因此不可能保持静止状态．

    解法二：设满足此条件的动摩擦因数为μ″，根据功能关系有

    6mg×3l － 2mgl =μ″Mg（3l），解得μ″ =

    而要使木块能在E处静止，还必须满足μ″ Mg≥6mg，即μ″ ≥

    所以满足此条件的动摩擦因数不存在．

【解析】略