Question

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求

   （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

   （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；

   （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。

Answer

（1）10．0N；（2）12．5m（3） 当时， ；当时，

    解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理

                        ①

    小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

                                         ②

    由①②得                                                       ③

    （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意

                                            ④

                   ⑤

    由④⑤得                                                    ⑥

    （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

    I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足

                                         ⑦

                   ⑧

    由⑥⑦⑧得            

    II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理

    解得                  

    为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足

    解得               R3=27．9m

    综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

    或              

    当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

    当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

【解析】略