Question

如图15所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑圆弧形轨道MNP，其半径R＝0.8 m，OM为水平半径，ON为竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R，∠PON＝45°第一次用质量m₁＝1.1 kg的物块(可视为质点)将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块停在B点(B点为弹簧原长位置)，第二次用同种材料、质量为m₂＝0.1 kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为，物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．(g＝10 m/s²，不计空气阻力)

求：(1)BC间的距离；

(2)m₂由B运动到D所用时间；

(3)物块m₂运动到M点时，m₂对轨道的压力．

Answer

(1)由x＝6t－2t2知

vB＝6 m/s a＝－4 m/s2            (2分)

m2在BD上运动时－m2gμ＝m2a

解得μ＝0.4                     (1分)

设弹簧长为AC时，弹簧的弹性势能为Ep

m1释放时Ep＝μm1gsBC                               (1分)

m2释放时Ep＝μm2gsBC＋m2vB2        (1分)

解得sBC＝0.45 m                     (1分)

(2)设m2由D点抛出时速度为vD，落到P点的竖直速度为vy

在竖直方向vy2＝2gR，解得vy＝＝4 m/s     (1分)

在P点时tan 45°＝                            (1分)

解得vD＝4 m/s                           (1分)

m2由B到D所用的时间t＝＝0.5 s         (2分)

(3)m2由P运动到M的过程，由机械能守恒定律得

m2vP2＋m2g(R－Rcos 45°)＝m2vM2＋m2gR    (2分)

在M点时，对m2受力分析，由牛顿第二定律得

FN＝m                                 (1分)

解得FN＝(4－) N                         

由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力为(4－) N      (1分)

【解析】略