Question

（15分）如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.1m，在金属板右侧有一边界为MN的匀强磁场，MN与两板中线OO′ 垂直，磁感应强度 B=5×10^－3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的比荷=10⁸C/kg，重力忽略不计，在0-0.8×10^－5s时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t = 0时刻进入两板间的带电粒子恰好在0.2×10^－5s时刻经极板边缘射入磁场。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）。

求：

（1）求两板间的电压U₀

（2）0-0.2×10^－5s时间内射入两板间的带电粒子都能够从磁场右边界射出，求磁场的最大宽度

（3）若以MN与两板中线OO′ 垂直的交点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立二维坐标系，请写出在0.3×10^－5s时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场（此时，磁场只有左边界，没有右边界）时的位置坐标。

（4）两板间电压为0，请设计一种方案：让向右连续发射的粒子流沿两板中线OO′射入，经过右边的待设计的磁场区域后，带电粒子又返回粒子源。

Answer

（1）250 V/m（2）0.2 m（3）若向上偏转：进入坐标为 (  0  ;   0.0125 ) (m)

离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.4125 ) (m)       若向下偏转：进入坐标为 (  0  ;  - 0.0125 ) (m)   离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.3875) (m)  （4）见解析

【解析】(1) （3分）电荷在电场中作类平抛运动 

d/2=at2/2 （1分）  a=d/ t2=2.5×1010  (m/s2)

Eq=ma   （1分） E=ma/q=2.5×1010/108 =250 (V/m)

U0=Ed=250×0.1=25 (V)  （1分）

(2) （3分） 在0---0.2×10-5S时间内, 0.2×10-5S时刻射入两板间的带电粒子进入磁场并能够从磁场右边界射出,则其他粒子也都能从磁场的右边界射出。粒子进入磁场作匀速圆周运动，则：

Bqv=mv2/R1      R1=mv0/Bq   （1分）

由第一问可知：v0=L/t=0.2/0.2×10-5 =105 (m/s)  （1分）

R1=105/5×10-3×108=0.2 (m) 

磁场的最大宽度为  D=R1=0.2 (m)  （1分）

(3) （7分） 0.3×10-5S时刻进入的粒子先做匀速直线运动,再做类平抛运动. 类平抛运动时间应为t=0.1×10-5S .

若向上偏转,根据平抛运动公式得: y1=at2=2.5×1010×(0.1×10-5)2/2=0.0125 (m) （1分）

进入坐标为 (  0  ;   0.0125 ) (m)   （1分）

进入磁场作匀速圆周运动,  R2=mv/Bq

离开磁场时的坐标 y2=y1+2R2cosθ=y1+2 mv0/Bq

y2=0.0125+2×105/5×10-3×108=0.4125 (m) （1分）

离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.4125 ) (m)  （1分）

若向下偏转,根据平抛运动公式得: y1=at2=2.5×1010×(0.1×10-5)2/2=0.0125 (m)

进入坐标为 (  0  ;  - 0.0125 ) (m)    （1分）

进入磁场作匀速圆周运动,  R2=mv/Bq

离开磁场时的坐标 y2= 2R2cosθ- y1= 2 mv0/Bq- y1

y2=2×105/5×10-3×108-0.0125=0.3875(m) （1分）

离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.3875) (m) （1分）

(4) （2分）(只要合理均给分)