Question

两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连放置

在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a和b的质量之比为 ，细杆长度是球面半径的 倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是：（  　）

A．45°　　　       B．30°　　　       C．22.5°　　　    D．15°

Answer

D

【解析】解法一 设细杆对两球的弹力大小为T，小球a、b的受力情况如图1－10乙所示

图1－10乙

其中球面对两球的弹力方向指向圆心，即有：

cos α＝＝

解得：α＝45°

故FNa的方向为向上偏右，即β1＝－45°－θ＝45°－θ

FNb的方向为向上偏左，即β2＝－（45°－θ）＝45°＋θ

两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，由几何关系可得：

＝

＝

解得：FNa＝FNb

取a、b及细杆组成的整体为研究对象，由平衡条件得：

FNa·sin β1＝FNb·sin β2

即 FNb·sin（45°－θ）＝FNb·sin（45°＋θ）

解得：θ＝15°．

解法二 由几何关系及细杆的长度知，平衡时有：

sin∠Oab＝＝

故∠Oab＝∠Oba＝45°

再设两小球及细杆组成的整体重心位于c点，由悬挂法的原理知c点位于O点的正下方，且＝＝

即R·sin（45°－θ）∶R·sin（45°＋θ）＝1∶

解得：θ＝15°．