Question

如图所示，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x > 0的空间里有沿x轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中x轴上的A点，沿着与水平方向成θ = 30°角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x < 0的区域，要使小球进入x<0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x < 0区域内另加一匀强电场。若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点，且OA = OC，设重力加速度为g，求：

（1）小球运动速率的大小；

（2）在x < 0的区域所加电场大小和方向；

（3）小球从B点运动C点所用时间及OA的长度。

Answer

（1）υ  =  （2）E′ =  E 方向竖直向上

（3）t1 =   OA =

【解析】（1）油滴从A运动到B的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知：sin30°  =                         ①

所以油滴的运动速率为：υ  =                         ②

（2）油滴在x<0的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。

所以：mg  =  qE′  又tan30°  =   所以E′ =  E 方向竖直向上        ③

（3）如上图所示，连接BC，过B作AB的垂线交x轴于O′。

因为∠θ  =  30°，所以在△ABO′中,∠AO′B  =  60°, 又OA  =  OC 故∠OCB  =  θ  =  30°, 所以∠CBO′  =  30°，O′C  =  O′B,

则O′为油滴作圆周运动的圆心。                                      ④

设油滴作圆周运动的半径为R，周期为T，则O′C  =  O′B  =  R  且：

qυB  =   m    

R  = 

 T   =    =    

由于∠CO′B  =  120° ，油滴从B运动到C的时间为t1  =   T  =      ⑤

又∠O′BO  =  30° 所以O′O  =   O′B  =   R                   ⑥

所以OC  =  R +  R  =   R  即OA  =   R  =          ⑦

由①知  =  ，所以t1  =                          ⑧

OA  =                           ⑨

评分标准：①②式各1分；③式2分；④⑤⑥⑦⑧⑨式各1分。