Question

如图甲所示， A、B、C、D为固定于竖直平面内的闭合绝缘轨道，AB段、CD段均为半径R＝1.6m的半圆，BC、AD段水平，AD=BC=8m。B、C之间的区域存在水平向右的有界匀强电场，场强E＝5×10⁵V/m，其余区域没有电场。质量为m=4×10^-3kg、带电量q=+1×10^-8C的小环套在轨道上。小环与轨道AD段的动摩擦因数为=0.125，与轨道其余部分的摩擦忽略不计。现使小环在D点获得沿轨道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿轨道DA段运动过程中始终受到方向竖直向上、大小随速度变化的力F（变化关系如图乙所示）作用，小环第一次进入半圆轨道AB时在A点对半圆轨道刚好无压力。不计小环大小，g取10m/s²。求：

（1）小环第一次运动到A时的速度大小；

（2）小环第一次回到D点时速度大小；

（3）若小环经过多次循环运动能达到稳定运动状态，则到达D点时的速度至少多大？

Answer

（1）4m/s（2）（3）不小于

【解析】根据向心力公式求出A点速度；根据动能定理求出D点速度；先分析各种情况的运动，利用能量关系及动能定理求解。

(1)进入半圆轨道AB时小环仅受重力，在A点由向心力公式得： 

得：             

(2) 小物块从D出发，第一次回到D的过程，由动能定理得：

(3) 分析：初始位置D点时，若所加力F﹥mg ,则小坏受摩擦力而减速，同时F减小，当

F= mg时匀速，但速度一定小于4m/s;若F﹤mg, 则小坏受摩擦力而减速,同时F越来越小，摩擦力越来越大，小环继续减速直至静止，不会到达A点时速度为4m/s，综上可知小环第一次从D到A做匀速运动。

由图象知：F=kv=mg

所以，                                    

则可知环与杆的摩擦力f≤μ|Fm－mg|=μmg=qE，              

稳定循环时，每一个周期中损耗的能量应等于补充的能量        

而         

所以稳定循环运动时小环在AD段运动时速度一定要大于等于8m/s

即到达A点的速度不小于8m/s                              

稳定循环运动时小环从A到D的过程，由动能定理得：

达到稳定运动状态时，小环到达D点时速度应不小于