Question

如图14所示，两条足够长的平行长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为L，电阻可忽略不计，ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R，杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬挂物都从静止开始运动．求：

(1)当ab杆及cd杆的速度分别达到v₁和v₂时，两杆加速度的大小各为多少？

(2)最终ab杆及cd杆的速度差为多少(两杆仍在导轨上运动)?

Answer

（1）a1=  a2=（2）

【解析】本题考查双轨道切割磁感线的问题，两条导体棒切割磁感线产生的感应电动势方向相反， 回路中的电动势为E1=BL(v2－v1) ，再由牛顿第二定律求出加速度

(1)用E1和I1分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知

E1=BL(v2－v1)   ………………………2分

I1=E1/2R   ……………………1分

令F1表示磁场对每根杆的安培力的大小，则F1=I1BL  ……………1分

令a1和a2分别表示ab杆、cd杆和物体M加速度的大小，F2表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知

F1= ma1   ……………………………………………2分

Mg－F2=Ma2   ……………………………………………2分

F2－F1=ma2   ……………………………………………2分

由以上各式解得 

a1=   ……………………………………………1分

a2=    ……………………………………………1分

(2)最终ab杆及cd杆的加速度相同，设其为a，速度差为 

E2=BL           I2=E/2R……………………………2分

令F3表示磁场对每根杆的安培力的大小，则F3=I2BL……………………………………………1分

F4表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知

F3= ma   ……………………………………………1分

Mg－F4=Ma   ……………………………………………1分

F4－F3=ma   ……………………………………………1分

由以上各式解得=   ……………………………2分