Question

（20分）如下图所示，带电平行金属板PQ和MN之间距离为d；两金属板之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。建立如图所示的坐标系，x轴平行于金属板，且与金属板中心线重合，y轴垂直于金属板。区域I的左边界是y轴，右边界与区域II的左边界重合，且与y轴平行；区域II的左、右边界平行。在区域I和区域II内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B，区域I内的磁场垂直于Oxy平面向外，区域II内的磁场垂直于Oxy平面向里。一电子沿着x轴正向以速度v₀射入平行板之间，在平行板间恰好沿着x轴正向做直线运动，并先后通过区域I和II。已知电子电量为e，质量为m，区域I和区域II沿x轴方向宽度均为。不计电子重力。

（1）求两金属板之间电势差U；

（2）求电子从区域II右边界射出时，射出点的纵坐标y；

（3）撤除区域I中的磁场而在其中加上沿x轴正向匀强电场，使得该电子刚好不能从区域II的右边界飞出。求电子两次经过y轴的时间间隔t。

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）电子在平行板间做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡

①（2分）

而U=Ed ②（2分）

由①②两式联立解得： （2分）

（2）如右图所示，电子进入区域I做匀速圆周运动，向上偏转，洛伦兹力提供向心力

 ③（2分）

设电子在区域I中沿着y轴偏转距离为 y0，区域I的宽度为b（b=），则

  ④（2分）

由③④式联立解得： （1分）

因为电子在两个磁场中有相同的偏转量，故电子从区域II射出点的纵坐标

 （2分）

（3）电子刚好不能从区域II的右边界飞出，说明电子在区域II中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域II的右边界相切，圆半径恰好与区域II宽度相同。电子运动轨迹如下图所示。设电子进入区域II时的速度为，则由：

  ⑤（2分）

由得：              

电子通过区域I的过程中，向右做匀变速直线运动， 此过程中平均速度

电子通过区域I的时间：

（b为区域I的宽度）⑥（1分）

解得：   

电子在区域II中运动了半个圆周，设电子做圆周运动的周期为T，则：

⑦

⑧（1分）

电子在区域II中运动的时间

⑨（1分）

由⑦⑧⑨式解得：t2=

电子反向通过区域I的时间仍为, 所以， 电子两次经过y轴的时间间隔：

  ⑩（1分）

联立解得： （1分）