Question

为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l = 2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v₀＝4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数 μ = 0.50．（g＝10m/s²、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

⑴求小物块到达A点时速度。

⑵要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？

⑶为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

Answer

⑴5m/s⑵R1 ≤ 0.66m⑶R2 ≥ 1.65m

【解析】

⑴ 小物块做平抛运动，经时间 t 到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度v0，竖直速度为vy，小物块恰好沿斜面AB方向滑下，则tan37° = vy/ v0

得vy = 3 m/s，所以小物块到A点的速度为5m/s                          (3分)

⑵ 物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 f = μFN = μmgcos37°  

设物块进入圆轨道到达最高点时有最小速度v1，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时的半径为 R0，则mg = mv12/R0                                        (1分)

物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，根据动能定理有：

mg(h + lsin37° – 2R0) – μmgcos37°·l = mv12/2 – mv02/2.                       (4分)

联立上式，解得R0 = 0.66m      

若物块从水平轨道 DE 滑出，圆弧轨道的半径满足 R1 ≤ 0.66m            (1分)

⑶ 为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则物块上升的高度须小于或等于某个值R，则 mg(h + lsin37°) –μmgcos37°·l – mgR = 0 – mv02/2           (3分)

解得R = 1.65m

物块能够滑回倾斜轨道 AB，则 R2 ≥ 1.65m                            (1分)