Question

如图所示，竖直的xOy平面内，在x≤0、y≥0的区域内有电场强度E₁=5×10²N／C、方向竖直向下的匀强电场，x>0、y<0的区域内有电场强度为E₂、方向竖直向上的匀强电场，E₂=5E_l。不带电的小球B在xOy面内绕x轴上的O₁点沿顺时针做圆周运动，运动到O点时速度大小v_o=20m／s，带正电的小球A在y轴上纵坐标y₁=0．4m的P点静止释放，恰好和B在O点发生正碰，并瞬间合成一个整体C，C能够经过最高点0₂和最低点0₃做圆周运动。A，B的质量都是m=0．1kg，拴小球B的轻质绝缘细绳长L=0．8m，A的电荷量q=2×10^—3C。A、B、C都可以看作质点。g取10m／s²。求：

1）小球A下落到O点的速度v₁是多大?

2）C运动到0₃时，绳对C的拉力T是多大?

3）小球A从y轴上y>0的某些位置开始下落，恰好在O点与B合成为C后，不能够做经过0₂和0₃的圆周运动。求这些位置的范围?

Answer

（1）T＝4m/s（2）T＝7N（3）1.6m＜y＜25.6

【解析】（1）由动能定理有(qE1＋mg)y1＝…………………………(2分)

解得v1＝4m/s                   …………………………(1分)

（2）设A与B碰后共同速度为v2，以竖直向上为正方向，由动量守恒得

mv0－mv1＝2mv2       …………………………………………(2分)

解得v2＝8m/s

设C运动到O3时速度v3，则

…………………………(2分)

…………………………………………(2分)

解得T＝7N………………………………………………………(1分)

（3）C不能做能够经过O2和O3的圆周运动，即C不能达到能够经过O2和O3所需的最小速度。设C能够做经过O2的圆周运动，在O2所需的最小速度为v4，设C能够做经过O3的圆周运动，在O3所需的最小速度为v5，则

  ……………(1分)    ………(1分)

v4＝m/s，v5＝m/s

C经过O3时速度为v5＝m/s，设经过O2时速度为v6，则

，

由于＞0，所以v6＞v5＝m/s＞v4＝m/s。

即C能够做经过O3就一定能够做经过O2。

当C能够做经过O3的速度小于v5＝m/s时，

不能做能够经过O2和O3的圆周运动。       (1分)

设C经过O3的速度为v5时，A与B碰后在O点的共同速度为v7，则

v7＝6m/s                                   …………………………(1分)

C在O点的速度只要大小为v7，不管是向上还是向下，C都能够经过O3。

设C的速度向上时，碰前A的速度为v8，在y轴上开始位置的坐标为y2，则

mv0－mv8＝2mv7                          (qE1＋mg)y2＝

解得v8＝8m/s，y2＝1.6m                      …………………………(2分)

设C的速度向下时，碰前A的速度为v9，在y轴上开始位置的坐标为y3，则

mv0－mv9＝－2mv7                        (qE1＋mg)y3＝

解得v9＝32m/s，y3＝25.6m                  …………………………(2分)

即1.6m＜y＜25.6m时，C不能做能够经过O2和O3的圆周运动。 ……(2分)