Question

(18分)摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如1所示。考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t = 0时由静止开始上升，a - t图像如图2所示。电梯总质最m = 2.0× kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²。

（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；

（2）类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由v - t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度的和速度的定义，根据图2所示a - t图像，求电梯在第1s内的速度改变量△v₁和第2s末的速率v₂;

（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率p：再求在0～11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W。

Answer

（1）F1 =2.2×N  F2 = 1.8×N  （2）v1 = 0.50m/s  v2 = 1.5m/s

（3）P = 2.0×W   W = 1.0× J

【解析】【解析】
（1）由牛顿第二定律得：F – mg = ma

由a – t图像可知，F1和 F2对应的加速度分别是a1 = 1.0m/s2，a2 = - 1.0m/s2

F1 = m（g + a1）= 2.0××（10 + 1.0）N = 2.2×N

F2 = m（g + a2）= 2.0××（10 - 1.0）N = 1.8×N

（2）类比可得，所求速度变化量等于第1s内a – t图线下的面积

v1 = 0.50m/s

同理可得：   v2 = v2 – v1 = 1.5m/s

第2s末的速率 v2 = 1.5m/s

（3）由a – t图像可知，11s~30s内速率最大，其值等于0～11s内a – t图线下的面积，有

vm = 10m/s

此时电梯做匀速运动，拉力F等重力mg，所求功率

P = Fvm = mg vm =  2.0× ×10 ×10 W = 2.0×W

 由动能定理得：W = m—0 = ×2.0× × J = 1.0× J