Question

（19分）某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为S。比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如题25图所示。设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。

（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数；

（2）求在加速跑阶段球拍倾角随速度变化的关系式；

（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v₀，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。

Answer

（1）tanθ0（2）tanθ=+tanθ0（3）a’t2≤r

【解析】（1）在匀速运动阶段，有mgtanθ0=kv0，

解得：k=tanθ0。

（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N’，有N’sinθ-kv=ma，

N’cosθ=mg

联立解得：tanθ=+tanθ0。

（3）以v0做匀速直线运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有

F=。

球拍倾角为θ0+β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a’，有

Fsinβ=ma’，

设匀速跑阶段所用时间为t，有：t=-，

球不从球拍上掉落的条件为  a’t2≤r。

解得sinβ≤cosθ0。