Question

如图所示为“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球从a点水平射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25 m，圆的半径R＝0.2 m，小球质量m＝0.01 kg，轨道质量为

M＝0.425 kg，g＝10 m/s²，求：

(1)若v₀＝5 m/s，小球从p点抛出后的水平射程；

(2)若v₀＝5 m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向；

(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₀至少为多大时，轨道对地面的压力可以为零．

Answer

(1) x＝0.8 m(2) F＝0.1 N，方向竖直向下(3) v0＝10 m/s 

【解析】(1)设小球运动到p点时的速度大小为v，对小球由a点运动到p点的过程，应用动能定理得：

－μmgL－4Rmg＝mv2－mv                      ①       (2分)

小球从p点抛出后做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则

4R＝gt2                                                                        ②       (1分)

x＝vt                                   ③        (1分)

联立①②③代入数据解得x＝0.8 m                    (1分)

(2)设在轨道最高点时管道对小球的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，

有：F＋mg＝m                                   ④        (1分)

联立①④代入数据解得F＝0.1 N，方向竖直向下．      (1分)

(3)分析可知，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置，

则有：F′＋mg＝m，F′＝Mg                         (1分)

－μmgL－2mgR＝mv－mv                          (1分)

解得：v0＝10 m/s                                    (1分)

整个过程中摩擦力做功和重力做功，可根据动能定理－μmgL－4Rmg＝mv2－mv，小球抛出后做平抛运动，根据平抛运动规律可得。弄清楚小球在最高点向心力来源是求管道对小球作用力的关键，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置，