Question

如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10^-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接。通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压。a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压。在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为，速度为v_o=2.0×10⁴m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）。

（1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小。

（2）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为，试写出粒子在磁场中运动的时间与的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间。

Answer

（1）（2）

【解析】（1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度为：

        ①       

           ②                                

           ③                     

粒子射入磁场时速度的大小设为

         ④

解得： （或）   ⑤

（2）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为，有

         ⑥  

  解得：      ⑦        

设粒子射出极板时速度的大小为，偏向角为α，在磁场中圆周运动半径为。根据速度平行四边形可得：

      ⑧

由可得：        ⑨

粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为，与x轴交点为D，

设，根据几何关系：

     ⑩

又：    

解得：      11

粒子在磁场中运动的周期为T：

        12

则粒子在磁场中运动的时间：

       13

由此结果可知，粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越大。假设极板间电压为最大值时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长。

由（1）问规律可知当滑动头P在b端时，粒子射入磁场时沿y方向的分速度：

          14

y方向偏距：，说明粒子可以射出极板。 15

此时粒子速度偏转角最大，设为，

     16     

故粒子在磁场中运动的最长时间：

        17

代入数值得：（或）   18

注：当电压最大为U时粒子能从极板间射出需要说明，若没有说明（或证明）扣2分。

评分标准：本题19分. （1）问6分，①、②、③、④式各1分，⑤式2分；（2）问13分，⑥—11式共5分，12、13式共2分，14、15式共2分，16、17、18式共4分。

本题考查了粒子在电磁场中的运动，粒子现在电场中作类平抛运动，然后进入磁场，做圆周运动，类平抛运动可将其分解为水平方向和竖直方向两个运动，利用分运动的同时性特点进行解题，现根据计算算出粒子在磁场中的运动时间表达式可得出粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越大，从而解出。