Question

如图所示，一质量m=0.1kg、电量q=1.0×10^-5 C的带正电小球（可视作点电荷），它在一高度和水平位置都可以调节的平台上滑行一段距离后平抛，并沿圆弧轨道下滑。A、B为圆弧两端点，其连线水平，已知圆弧半径R=1.0m，平台距AB连线的高度h可以在0.2m-0.8m.之间调节。有一平行半径OA方向的匀强电场E，只存在圆弧区域内。为保证小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，小球平抛初速度v₀和h满足如图所示的抛物线，其中两点的坐标为（0.2，1.5），（0.8，3.0）。同时调节平台离开A点的距离合适。不计空气阻力，取g=10m/s²，求：

（1）小球在空中飞行的最短时间t；

（2）平台离开A的水平距离x范围；

（3）当h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C时，小球滑到最低点C点的速度v；

（4）为了保证小球在圆轨道内滑动到C点的速度都是（3）中的v，则电场力F=qE的大小应与平台高度h满足的关系。（通过列式运算说明）

Answer

（1）0.2s（2）1.2m（3）vC=3.5m/s（4）

【解析】（1）（2分）当平台高度为0.2m时，空中飞行的最短时间t==0.2s

（2）（4分）因为小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，所以小球进入圆弧轨道时时的速度方向不变，设此速度与竖直方向成α角。

tgα==

v02=2ghtan2α

由图像中当h=0.8m时，v0=3m/s代入上式得

9=2×10×0.8×tg2α

tgα=0.75    α=370    则θ=1060

所以v02=11.25h

当h=0.2m时, v0=1.5m/s

平台离开A的最小距离为s1= v0t=1.5×0.2=0.3m

同理得平台离开A的最大距离为s2= v0=3×=1.2m

（3）（4分）小球到达A点时的速度vA===2.5m/s

从A点到C点，由动能定理得

mgR(1-cos530)-qE R(1-cos530)= mvC2- mvA2

代入数据，解得vC=3.5m/s

（4）（4分）从A点到C点，由动能定理得

mgR(1-cos530)-FR(1-cos530)=mvC2- mvA2

  =mvC2- m

=mvC2- m

代入数据得32F=125h-17

或

本题考查的是对平抛运动和圆周运动相结合及动能定理的应用问题，根据平抛运动和圆周运动的一些规律，再利用动能定理即可求解问题；