Question

（15分）如图所示，在平面的第一象限和第二象限区域内，分别存在场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，电场Ⅰ的方向沿x轴正方向，电场Ⅱ的方向沿y轴的正方向。在第三象限内存在着垂直于平面的匀强磁场Ⅲ，Q点的坐标为（－x₀，0）。已知电子的电量为－e，质量为m（不计电子所受重力）。

（1）在第一象限内适当位置由静止释放电子，电子经匀强电场Ⅰ和Ⅱ后恰能透过Q点。求释放点的位置坐标x、y应满足的关系式；

（2）若要电子经匀强电场Ⅰ和Ⅱ后过Q点时动能最小，电子应从第一象限内的哪点由静止释放?求该点的位置和过Q点时的最小动能。

（3）在满足条件（2）的情况下，若想使电子经过Q后再次到达y轴时离坐标原点的距离为x₀，求第三象限内的匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。

Answer

（1）（2）电子从第一象限内的P()点由静止释放过Q点时动能最小，过Q点时的最小动能是（3）

【解析】(1)设电子从第一象限内坐标为(x，y)处由静止释放能过Q点，到达y轴时的速度为，由动能定理得：①   (1分)

若能到达Q点，则应满足：②      (1分)

③      (1分)④   (1分)

联立①②③④得：⑤     (1分)

(2)由动能定理得：电子从P点由静止释放，经匀强电场I和Ⅱ后过Q点时动能：⑥                 (1分)而 (当时取“=”)⑦    (1分)

由⑤⑥⑦得：(当时取“=”)⑧   (1分)

所以电子从第一象限内的P()点由静止释放过Q点时动能最小，过Q点时的最小动能是

(3)若匀强磁场Ⅲ方向垂直纸面向里，则电子左偏，不会再到达y轴，所以匀强磁场方向垂直纸面向外．运动轨迹如图，则：

而

在满足条件(2)的情况下所以=45°⑨                      (1分)

设在匀强磁场Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r，到达y轴上的A点，结合题中条件可推知，电子在磁场中运动的轨迹应为以QA为直径的半圆，OA=x0，由几何知识知：⑩        (1分)

设到达Q点的速度为，则      (1分)

解得：     (1分)

根据牛顿第二定律得：

解得：        (1分)

把和r的值代入，第三象限内的匀强磁场的磁感应强度

          (2分)