Question

如图所示，有一个可视为质点的质量为m = 1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀ = 3 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M = 3 kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ = 0.3，圆弧轨道的半径为R = 0.5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ = 53°，不计空气阻力，取重力加速度为g=10 m/s².求：

⑴ AC两点的高度差；

⑵ 小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；

⑶ 要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．

（）

Answer

⑴0.8m⑵68N，方向竖直向下⑶3.625 m

【解析】【解析】
⑴ 小物块在C点时的速度大小为  vC = = 5 m/s，

竖直分量为  vCy = 4 m/s （2分）    

下落高度   h = vCy2/2g = 0.8m  （2分）

⑵ 小物块由C到D的过程中，由动能定理得：

mgR(1–cos 53°) = m v–m v  （2分）

解得 vD = m/s（1分）

小球在D点时由牛顿第二定律得：FN–mg = m  （2分）

代入数据解得 FN = 68N  （1分）

由牛顿第三定律得 FN′ = FN = 68N，方向竖直向下（2分）

⑶ 设小物块刚滑到木板左端达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，

对物块和木板系统，由动量守恒定律得：（2分）

或：由牛顿第二定律得：小物块与长木板的加速度大小分别为：

a1 = μg = 3 m/s2， a2 =  = 1 m/s2（1分）

速度分别为  v = vD–a1t， v = a2t  （1分）

对物块和木板系统，由能量守恒定律得：μmgL = m v– (m＋M) v2  （2分）

解得L = 3.625 m，即木板的长度至少是3.625 m（2分）

本题考查的是一道力学综合性习题。根据动能定理和能量守恒定律，利用牛顿定律即可求解；