Question

如图所示，一半径r = 0.2m的光滑圆弧形槽底端B与水平传带相接，传送带的运行速度为v₀=4m/s，长为L=1.25m , 滑块与传送带间的动摩擦因数=0.2,DEF为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空方形细管，EF段被弯成以O为圆心、半径R = 0.25m的一小段圆弧，管的D端弯成与水平传带C端平滑相接，O点位于地面，OF连线竖直．一质量为M=0.1kg的物块a从圆弧顶端A点无初速滑下，滑到传送带上后做匀加速运动，过后滑块被传送带送入管DEF，管内顶端F点放置一质量为m=0.1kg的物块b．已知a、b两物块均可视为质点，a、b横截面略小于管中空部分的横截面，重力加速度g取10m/s².求：

(1)滑块a到达底端B时的速度v_B；

(2) 滑块a刚到达管顶F点时对管壁的压力；

(3) 滑块a滑到F点时与b发生正碰并粘在一起飞出后落地，求落点到O点的距离x（不计空气阻力）

(4)已知若a的质量M≥m，a与b发生弹性碰撞，求物块b滑过F点后在地面的首次落点到O点距离x的范围．(=2.2)

Answer

(1) 2m/s(2) 0.6N, 方向竖直向上(3) (4) 0.44m≤x＜0.88m 

【解析】(1)设滑块到达B点的速度为vB，由机械能守恒定律，有

                                    （2分）

 =2m/s                                 （1分）

(2)滑块在传送带上做匀加速运动，受到传送带对它的滑动摩擦力，

由牛顿第二定律Mg =Ma,                          （1分）

滑块对地位移为L，末速度为vC，设滑块在传送带上一直加速

由速度位移关系式                   （1分）

得vC=3m/s<4m/s，可知滑块未达共速                      （1分）

滑块从C至F，由机械能守恒定律，有

                              （1分）

得                                          （1分）

在F处由牛顿第二定律                  （1分）

FN=0.6N                                                （1分）

根据牛顿第三定律知

管上壁受压力为0.6N,                                     

方向竖直向上.                                           （1分）

(3) 设碰撞后物块a、b的速度分别为Va、Vb，碰撞过程由动量守恒和机械能守恒得

（1分）

（1分）

因为，由上式可知，碰撞后，

即（1分）

解得

(4)设碰撞后物块a、b的速度分别为Va、Vb，碰撞过程由动量守恒和机械能守恒得

                          （1分）

                       （1分）

联立解得                     （1分）

因为M≥m，由上式可知，碰撞后VF≤Vb＜2VF，即2m/s≤Vb＜4m/s   （1分）

物块b离开E点后做平抛运动，设时间为t，首次落点到O点的距离为x，则有

                                    （1分）

                                    （1分）

由以上三式联立解得  0.44m≤x＜0.88m             （1分）

本题考查牛顿第二定律和动量守恒、能量守恒的结合问题，先由动能定理求出B点速度，再由圆周运动和牛顿第二定律求出弹力大小，碰撞前后动量守恒，找到初末状态列式求解，在运动过程中没有机械能损失，列出初末状态动能，求解即可