Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R.用质量m₁＝0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂＝0.2kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块经过B点后其位移与时间的关系为x＝6t－2t²，物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．g＝10m/s²，求：

(1)BP间的水平距离；

(2)判断m₂能否沿圆轨道到达M点；

(3)释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer

(1) 4.1m(2) 物块不能到达M点(3) 5.6J.

【解析】(1)设物块由D点以初速度vD做平抛运动，

落到P点时其竖直速度为vy，有v＝2gR

而＝tan45°，解得vD＝4m/s    (2分)

设物块做平抛运动的时间为t，水平位移为x1，

有R＝gt2，x1＝vDt，

解得x1＝1.6m    (2分)

由题意可知，小球过B点后以初速度为v0＝6m/s，

加速度大小a＝4m/s2减速到vD，

设BD间位移为x2，有v－v＝2ax2                 

x2=2.5m     (2分)

所以BP水平间距为x＝x1＋x2＝4.1m     (1分)

(2)若物块能沿轨道到达M点，设其速度为vM，

有－m2gR＝m2v－m2v    (3分)

解得vM≈2.2m/s<≈2.8m/s   (2分)

即物块不能到达M点．   (1分)

(3)设弹簧长为AC时的弹性势能为EP，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，则

释放m1时，EP＝μm1gxCB     (2分)

释放m2时，EP＝μm2gxCB＋m2v     

解得EP＝7.2J         (3分)

设m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf，有EP－Wf＝m2v     

解得Wf＝5.6J.   (2分)

本题考查了平抛运动、动能定理的应用，根据平抛运动两个方向的分运动特征求得初速度，再有运动学公式求解，在物体到达M点过程中应用动能定理判断物体不能到达M点