Question

如图所示,一块质量为M､长为l的匀质板放在很长的光滑水平桌面上,板的左端有一质量为m的物块,物块上连接一根很长的细绳,细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮,某人以恒定的速度v向下拉绳,物块最多只能到达板的中点,而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮处.求:

(1)物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移;

(2)若板与桌面间有摩擦,为使物块能到达板的右端,板与桌面间的动摩擦因数的范围;

(3)若板与桌面间的动摩擦因数取(2)问中的最小值,在物块从板的左端运动到右端的过程中,人拉绳的力所做的功(其他阻力均不计).

Answer

(1)  (2)大于  (3)2Mv2

【解析】(1)设物块在板上滑行的时间为t1,对板应用动量定理得:

μ1mgt1=Mv,t1=                 ①

设在此过程中物块前进位移为s1,板前位移为s2,

则s1=v·t1                                              ②

s2=t1                                                    ③

s1-s2=                             ④

由①~④得物块与板间的动摩擦因数为μ1=板的位移s2=

(2)设板与桌面间的动摩擦因数为μ2,物块在板上滑行的时间为t2.则应用动量定理得

[μ1mg-μ2(m+M)g]·t2=Mv,

t2=

又设物块从板的左端运动到右端的时间为t3

则

为了使物块能到达板的右端,必须满足t2≥t3

即≥,μ2≥

所以为了使物块能到达板的右端,应使板与桌面的动摩擦因数μ2≥

(3)设绳子的拉力为T,物块从板的左端到达右端的过程中物块的位移为s3,则有:T-μ1mg=0,s3=v·t3=2l

由功的计算公式得:WT=T·s3=μ1mg·2l=·mg·2l=2Mv2

所以绳的拉力做功为2Mv2.

(或W=ΔEk+Q1+Q2=Mv2+μ1mgl+μ2(M+m)gl=2Mv2)