Question

（09·安徽·24）（20分）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。

试求

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。

Answer

（1）10.0N；

（2）12.5m

(3) 当时， ；当时，

【解析】（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理

      ①

小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

              ②

由①②得                      ③

（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意

                ④

   ⑤

由④⑤得                              ⑥

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足

          ⑦

          ⑧

由⑥⑦⑧得   

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理

解得 

为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足

解得  R3=27.9m

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或 

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则