Question

“和平号”空间站已于2001年3月23日成功地坠落在南太平洋海域，坠落过程可简化为从一个近圆轨道（可近似看做圆轨道）开始，经过与大气摩擦，空间站的大部分经过升温、熔化、最后汽化而销毁，剩下的残片坠入大海.此过程中，空间站原来的机械能中除一部分用于销毁和一部分被残片带走外，还有一部分能量E′通过其他方式散失（不考虑坠落过程中化学反应的能量）。

（1）试导出以下各物理量的符号表示散失能量E′的公式。

（2）算出E′的数值（结果保留两位有效数字）。

坠落开始时空间站的质量M=1.17×10⁵ kg；

轨道离地面的高度h=146 km；地球半径为R=6.4×10⁶ m；

坠落空间范围内重力加速度可看做g=10 m/s²；

入海残片的质量m=1.2×10⁴ kg；

入海残片的温度升高ΔT=3000 K；

入海残片的入海速度为声速v=340 m/s；

空间站材料每1 kg升温1 K平均所需能量C=1.0×10³ J；

每销毁1 kg材料平均所需能量μ=1.0×10⁷ J。

Answer

E′=Mg(R/2+3h/2)－(M－m)μ－mv2/2－CmΔT    E′=2.9×1012 J  

【解析】（1）根据题目所给条件，从近圆轨道到地面的空间中重力加速度g=10 m/s2.若以地面为重力势能零点，坠落过程开始时空间站在近圆轨道的势能为Ep=Mgh                ①

以v表示空间站在近圆轨道上的速度，有引力提供向心力，由牛顿定律得

Mg=Mv2/R+h                                                              ②

由②式可得空间站在近圆轨道上的动能为Ek=Mg(R+h)/2    ③

由①、③式得，在近圆轨道上空间站的机械能E=Mg(R/2＋3h/2)                 ④

在坠落过程中，用于一部分销毁所需的能量为Q汽=（M-m）μ         ⑤

用于残片升温所需的能量Q残=CmΔT                                 ⑥

残片入海时的动能为E残= mv2/2                                     ⑦

以E′表示其他方式散失的能量，则由能量守恒得E=Q汽+E残+Q残+E′     ⑧

将④⑤⑥⑦式代入⑧式整理得

E′=Mg(R/2+3h/2)－(M－m)μ－mv2/2－CmΔT                            ⑩

（2）将题目所给的数据代入⑩式解得E′=2.9×1012 J

思路分析：根据牛顿定律得出向心力表达式，推出动能的表达式，联立这两式可得空间站的机械能，在坠落过程中算出销毁所需的能量，用于残片升温所需的能量，残片入海时的动能，根据能量守恒定律可得表达式，带入数据可得结果

试题