Question

如图所示，将倾角θ=30°、表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根轻质细绳跨过两个光滑的半径很小的滑轮连接甲、乙两物体（均可视为质点），把甲物体放在斜面上且细绳与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使细绳拉直且偏离竖直方向α=60°。开始时甲、乙均静止。现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内往返运动，测得绳长OA为l=0.5 m，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动，已知乙物体的质量为  m=1 kg，忽略空气阻力，取重力加速度g=10 m/s²，求：

（1）乙物体在竖直平面内运动到最低点时的速度大小以及所受的拉力大小

（2）甲物体的质量以及斜面对甲物体的最大静摩擦力的大小

（3）斜面与甲物体之间的动摩擦因数μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

Answer

(1)2.24 m/s，20 N     (2)2.5 kg，7.5 N     (3)0.35

【解析】本题考查牛顿第二定律的应用和圆周运动规律，当乙物体运动到最低点时，绳子的拉力和重力的合力提供向心力，现根据动能定理求得最低点速度大小，再由向心力公式求解，当乙物体运动到最高点时,绳子上的拉力最小，此时速度为零，沿半径方向的合力提供向心力，所以也为零，由此可知绳子的拉力等于重力沿半径方向的分力，再由 甲物体刚好不下滑，可判断甲物体所受静摩擦力沿斜面向上，列公式求解，具体计算步骤如下

(1)当乙物体运动到最低点时,绳子上的拉力最大,设为F1,对乙物体,由动能定理得

mgl(1-cosα)=

又由牛顿第二定律得F1-mg=

乙物体在竖直平面内运动到最低点时F1=20 N的速度v=   m/s=2.24 m/s

乙物体运动到最低点时所受的拉力F

(2)当乙物体运动到最高点时,绳子上的拉力最小,

设为F2,此时乙物体向心力为0,即F2=mgcosα

此时甲物体恰好不下滑,有Mgsinθ=Ff+F2乙物体到最低点时,

甲物体恰好不上滑,则有Mgsinθ+Ff=F1联立解得M=2.5 kg,Ff=7.5 N

(3)对甲物体,有Ff=μFN,FN=Mgcosθ联立解得μ=    =0.35