Question

如图所示，在一个倾角为θ=37°(cos37°=0.8)的斜面上， O点固定一根细绳，细绳另一端连接一个质点。现将质点放到斜面上P点，由静止释放，已知OP连线水平且间距为绳长，质点滑动到细绳转过角度α=90°的位置时刚好停止。问：

(1)质点与斜面间动摩擦因数μ为多少？

(2)试描述质点放到斜面上哪些位置时可以平衡？已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。

Answer

(1)   (2) [arccos，π - arccos]。

【解析】(1)将重力分解为下滑力和垂直斜面的分力，有

G1=mgsinθ

G2=mgcosθ

由于物体在垂直斜面方向无运动，受力平衡，所以始终有

N=G2= mgcosθ                  (1)

则物体所受的滑动摩擦力

f=μN=μmgcosθ                   (2)

在物体摆动α=90°的过程中，由动能定理有

mgLsinθ - =0 – 0           (3)

由(2)(3)可得：

                  (4)

(2)根据上问数据可知

f < G1

所以如果没有细绳物体不可能在斜面上平衡，所以物体平衡时应该使细绳拉紧，物体首先应停在斜面上以O为圆心，绳长为半径的圆上。

假设物体处于临界平衡状态，摩擦力为最大静摩擦力f，设此时细绳与OP夹角为α0，由物体平衡，三力合力为零，首尾相接之后组成闭合三角形，可得：

        (5)

综上所述，物体能够平衡的位置为，在斜面上以O点为圆心，OP长为半径的圆上；且在OP下方使得细绳与OP夹角α的取值范围为[arccos，π - arccos]。

评分标准：

(1)问6分，(2)(3)(4)各2分。

(2)问6分，(5)2分，描述物体在圆上2分，得出α的角度范围2分(用别的角度描述也可)。

本题考查单摆运动的周期公式，小球在斜面上做单摆运动，把重力分解为垂直和平行斜面的两个分力，垂直斜面方向受力平衡，由此求得摩擦力大小，在物体摆动α=90°的过程中，由动能定理可知合力做功为零，绳子的拉力不做功，只有重力和摩擦力做功，摩擦力作用与路程有关，由此可求得动摩擦因数大小，由此可知摩擦力大小小于重力沿斜面向下的分力，所以如果没有细绳物体不可能在斜面上平衡，所以物体平衡时应该使细绳拉紧，物体首先应停在斜面上以O为圆心，绳长为半径的圆上，随意找一个临界状态，摩擦力为最大静摩擦力f，由受力平衡列出公式，求得角度的取值范围