Question

如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成,圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆形轨道运动.要求物块能通过圆形轨道最高点,且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度).求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围.

Answer

R≤h≤5R

【解析】设物块在圆形轨道最高点的速度为v,由机械能守恒定律得

mgh=2mgR+mv2    ①物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N.重力与压力的合力提供向心力,有mg+N=m      ②物块能通过最高点的条件是N≥0      ③

由②③式得   v≥④由①④式得h≥R        ⑤

按题目要求,N≤5 mg,由②式得v≤ ⑥由①⑥式得h≤5R   ⑦

h的取值范围是R≤h≤5R

本题考查动能定理和圆周运动规律的应用，设物块在圆形轨道最高点的速度为v,由机械能守恒定律可出公式，再由最高点的支持力和重力的合力提供向心力，能过通过最高点弹力必须大于等于零，由以上两公式联立可求得在最高点速度范围，即可求得高度h的取值范围