Question

（14分）如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为q＝37°．现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失．（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？

（2）若以题（1）中求得的最小初动能E_K0从B点向上运动，求小球在CD段上运动的总路程．

Answer

（1）30J  （2）9.78m

【解析】（1）考查能量守恒，临界位置的分析

  要使小球能够向上运动并回到B点，有两个临界条件的要求：一是要使小球能够通过圆弧APD的最高点，二是通过了圆弧APD的最高点后还能够再次到达B点。所以：

若要使小球能够通过圆弧APD的最高点，因为小球是穿在杆上，所以到达最高点时速度可以为0.由能量守恒得：  

  （2分）

（即小球在B点的初动=小球增加的重力势能+因摩擦而发的热）

假若仅使小球恰好到达B点，即到达B点时速度恰好为0，则由能量守恒：

       （2分）

所以，要使小球能再次回到B点，至少需要的初动能。

（2）考查动能定理，能量守恒，小球运动过程的分析

当小球在B点以向上运动，再次回到B点时，小球的动能，由动能定理：

，所以：

 （1分）

假设小球经过B点后，还能沿AB上升，由动能定理：

解得：  （1分）

在AB杆上，由于，所以小球将再次下滑，在AB杆上因摩擦而发的热：

当小球第二次回到D点时，由能量守恒得：

         （1分）

所以： （1分）

小球到达D点后，将沿光滑的圆弧面APB上升，但到不了最高点，将再次滑回D点，且。

假若要使小球还能够返回B点，则要求在D点时具有的动能为：

；    （1分）

所以小球将无法再次回B点，而只能在光滑圆弧APD和BQC及DC间作来回往复的运动，最终小球将停在DC上，此时小滑在DC上滑过的总路程为，

由得：      （1分）

    （1分）

所以   （1分）

思路拓展：解此题时学生需注意，第一问能正确找出小球运动过程中的临界点，即竖直轨道的最高点；第二问题目难度较大关键是要分析清小球的运动过程，在分析时要通过能量关系或动能定理来确定。