Question

过山车是游乐场中常见的设施．如图17所示是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m、R₂=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字．试求：

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件和小球最终停留点与起点间的距离．

Answer

（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当时， ；当时，

【解析】

试题分析：（1）（4分）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理

                    ①

小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

                                     ②

由①②得                                                       ③

（2）（4分）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意

                                        ④

               ⑤

由④⑤得                                                    ⑥

（3）（4分）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足

                                     ⑦

               ⑧

由⑥⑦⑧得           

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理

解得                  

为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足

解得               R3=27.9m

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

考点：本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理的应用