Question

一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O。筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷。质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中。粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

（1）M、N间电场强度E的大小；

（2）圆筒的半径R；

（3）保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移2d/3，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n。

Answer

（1） （2） （3）n = 3

【解析】（1）从M板边缘的P处由静止释放到N板的小孔S处的过程中，因粒子重力不计，只有受电场力作用，且做正功，设粒子经电场加速后的速度为v，两板间的电压为U，由动能定理得：

由匀强电场中电势差与电场强度的关系得：U=Ed，联立上式可得：。

（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。由题设，带电粒子每次与圆筒碰撞过程中发生碰撞时电量和能量都不损失，每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，根据对称性，画出粒子运动的轨迹如图，运用几何关系做出轨迹圆圆心为，设轨迹圆半径为r，第一次碰撞点为A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S孔射出，因此，，SA弧所对的圆心角。

在中，由几何关系得

粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，得

以上各式联立解得：

（3）保持M、N间电场强度E不变，M板向上平移后，设板间电压为，则

设粒子进入S孔时的速度为，由可以看出

于是得

设粒子做圆周运动的半径为，则

设粒子从S到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角为θ，比较和两式可得：，可见 ，

根据圆的对称性可知，粒子须经过四个这样的圆弧才能从S孔射出，粒子轨迹如图。故n=3

此题易错点：对带电粒子在磁场中运动的几何关系分析不清。

【考点定位】本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，意在考查考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题的能力。