Question

如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。

（1）若粒子以初速度v₁沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v₁的大小；

（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v₁），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；

（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v₀沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量v_x与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值v_m。

Answer

 ⑴；⑵两个  sinθ=；⑶＋。

【解析】（1）带电粒子以初速度v1沿y轴正方向入射后，在磁场中做匀速圆周运动，刚好转过半周到达x轴上的A点，设此时的轨道半径为R1，有：R1=a/2                      ①

由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有qBv1=  ②

由①②式联立解得：v1=。

（2）带电粒子以初速度v入射时，在磁场中仍然做匀速圆周运动，设此时轨道为R，对照②式可知：R=                 ③

由于v＞v1，则R＞R1=a/2，要使其圆轨迹能经过A点，则θ≠90°，绘出粒子的轨迹图如图所示，轨迹圆有两个，但圆心都落在OA的中垂线上，设做两个圆周运动的速度入射方向与x轴正方向的夹角分别为θ和θ′，根据图中几何关系有：sinθ′=sinθ=       ④

由③④式联立解得：sinθ=。

（3）粒子在磁场中仅受洛伦兹力和电场力作用，又洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功，因此只有电场力做功，根据题意可知，当粒子运动至＋y方向最远处时，速度最大为vm，且沿＋x方向，设＋y方向最远处的y坐标为ym，由于vx与y成正比，设比例系数为k，有：vm＝kym                    ⑤

根据动能定理有：qEym＝－                         ⑥

又因比例系数与电场强度E无关，因此若无电场，粒子将以速度v0做匀速圆周运动，设轨道半径为R0，此时在＋y方向最远处的y坐标为R0，有：v0＝kR0             ⑦

对照②式可知：R0＝                     ⑧

由⑤⑥⑦⑧式联立解得：vm=+

【考点定位】本题主要考查带电粒子在磁场、复合场中的运动问题，以及分析问题、从题干中提取有用信息的能计算题力问题。难度较大。