Question

如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．通过调整两板间距d可以改变收集效率η．当d=d时η为81%（即离下板0.81d范围内的尘埃能够被收集）．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．
（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值d_m；
（2）求收集率η与两板间距d的函数关系；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量与两板间距d的函数关系，并绘出图线．

Answer

（1）首先根据类平抛运动分析方法：水平方向匀速和竖直方向匀加速具有等时性，即粒子在电场中运动的时间不超过，所以得出临界问题的临界条件；再由竖直方向匀加速直线运动的规律求解相关问题即可．
（2）结合第一问中的临界条件，得出恰好经过下板右边缘的离子的竖直位移表达式，再由收集效率的表达式，可得收集率η与两板间距d的函数关系．
（3）结合第二问的分析，可得出质量与两板间距d的函数关系．
【解析】

（1）收集效率η为81%，即离下板0.81d的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，在水平方向有：
L=vt…①
在竖直方向有：
…②
其中：…③
当减少两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为100%时，两板间距为dm．如果进一步减少d，收集效率仍为100%．
因此，在水平方向有L=vt…④
在竖直方向有…⑤
其中…⑥
联立①②③④⑤⑥可得dm=0.9d0…⑦
（2）通过前面的求解可知，当d≤0.9d时，收集效率η为100% 当d＞0.9d时，设距下板x处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有…⑧
根据题意，收集效率为…⑨
联立①②③⑧⑨可得
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量=ηnmbdv
当d≤0.9d时，η=1，因此=nmbdv
当d＞0.9d时，，因此=
绘出的图线如图．
答：（1）收集效率为100%时，两板间距的最大值为0.9d
（2）收集率η与两板间距d的函数关系为
（3）尘埃质量与两板间距d的函数关系为当d≤0.9d时，=nmbdv，当d＞0.9d时，=．